この記事で扱う証明
利率記号どうしをつなぐ式を3つ示します。教科書第1章 練習問題（1）の（6）（7）（8）です。
証明1 — 実利率を利力で近似する
$$i \fallingdotseq \delta + \frac{1}{2}\delta^2 + \frac{1}{6}\delta^3$$
証明2 — 利力を名称利率と名称割引率で近似する
$$\delta \fallingdotseq \frac{i^{(k)} + d^{(k)}}{2}$$
証明3 — 現価率の微分
$$\frac{d\,v^n}{d\delta} = -n v^n, \qquad \frac{d\,v^n}{di} = -n v^{n+1}$$
3つとも見た目は別物ですが、使う一手は共通しています。$\delta$ を指数の肩に置く、これだけです。
使う道具
| 記号 | 意味 | $\delta$ との関係 |
|---|---|---|
| $i$ | 実利率 | $1 + i = e^{\delta}$ |
| $d$ | 実割引率 | $1 - d = e^{-\delta}$ |
| $v$ | 現価率 | $v = e^{-\delta}$ |
| $i^{(k)}$ | 年 $k$ 回転化の名称利率 | $\left(1 + \dfrac{i^{(k)}}{k}\right)^k = e^{\delta}$ |
| $d^{(k)}$ | 年 $k$ 回転化の名称割引率 | $\left(1 - \dfrac{d^{(k)}}{k}\right)^k = e^{-\delta}$ |
| $\delta$ | 利力 | — |
この表の右列がすべて $e$ の式になっていることが、この記事の主題です。 $\delta$ 以外の記号は「$e^{\delta}$ をどう分割して表すか」の違いでしかありません。
級数展開は2つだけ使います。
$$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \cdots$$ $$\log(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots$$
証明1：$i$ から $\delta$ へは指数を1回
$1 + i = e^{\delta}$ すなわち $i = e^{\delta} - 1$ から始めます。右辺を展開するだけです。
$$i = e^{\delta} - 1 = \left(1 + \delta + \frac{\delta^2}{2} + \frac{\delta^3}{6} + \cdots\right) - 1 = \delta + \frac{1}{2}\delta^2 + \frac{1}{6}\delta^3 + \cdots$$
3次で打ち切れば与式です。証明はこれで終わりです。
精度を見ておきます。$i = 5\%$ のとき $\delta = \log 1.05 = 0.0487902$ で、
$$\delta + \frac{1}{2}\delta^2 + \frac{1}{6}\delta^3 = 0.0499998$$
真の値 $0.05$ との差は $2.4 \times 10^{-7}$。3項で7桁近く合います。実務で使う利率の範囲では $\delta$ が小さいので、高次の項がほとんど効かないからです。
証明2：名称利率は $\delta$ を $k$ 等分したもの
名称利率の定義に戻ります。
$$\left(1 + \frac{i^{(k)}}{k}\right)^k = 1 + i = e^{\delta}$$
両辺の対数をとると
$$\delta = k\,\log\!\left(1 + \frac{i^{(k)}}{k}\right)$$
ここが一手です。指数の形を対数で開くと、$\delta$ が $i^{(k)}$ の式として書けます。あとは $\log(1+x)$ を展開するだけで、$x = i^{(k)}/k$ とおいて
$$\delta = k\left[\frac{i^{(k)}}{k} - \frac{1}{2}\left(\frac{i^{(k)}}{k}\right)^2 + \frac{1}{3}\left(\frac{i^{(k)}}{k}\right)^3 - \cdots\right] = i^{(k)} - \frac{1}{2k}\left(i^{(k)}\right)^2 + \frac{1}{3k^2}\left(i^{(k)}\right)^3 - \cdots$$
割引側も同じです。$\left(1 - \dfrac{d^{(k)}}{k}\right)^k = e^{-\delta}$ から
$$\delta = -k\,\log\!\left(1 - \frac{d^{(k)}}{k}\right) = d^{(k)} + \frac{1}{2k}\left(d^{(k)}\right)^2 + \frac{1}{3k^2}\left(d^{(k)}\right)^3 + \cdots$$
2つの展開を見比べてください。2次の項の符号だけが逆です。だから足して2で割れば、2次の項がほとんど打ち消し合います。
$$\frac{i^{(k)} + d^{(k)}}{2} \fallingdotseq \delta + \frac{1}{4k}\left[\left(d^{(k)}\right)^2 - \left(i^{(k)}\right)^2\right]$$
$i^{(k)}$ と $d^{(k)}$ は近い値なので角括弧の中はほぼ0。したがって
$$\delta \fallingdotseq \frac{i^{(k)} + d^{(k)}}{2}$$
「和半をとる」という操作の正体は、符号の違う2次の項を消すことです。ここが分かっていれば、式を忘れても再現できます。
$i = 5\%$ で確かめます。
| $k$ | $i^{(k)}$ | $d^{(k)}$ | 平均 | $\delta$ との差 |
|---|---|---|---|---|
| 1 | $0.0500000$ | $0.0476190$ | $0.0488095$ | $1.9 \times 10^{-5}$ |
| 2 | $0.0493902$ | $0.0481999$ | $0.0487950$ | $4.8 \times 10^{-6}$ |
| 4 | $0.0490889$ | $0.0484938$ | $0.0487914$ | $1.2 \times 10^{-6}$ |
| 12 | $0.0488895$ | $0.0486911$ | $0.0487903$ | $1.3 \times 10^{-7}$ |
$\delta = 0.0487902$ です。$k$ が4倍になると誤差はおよそ16分の1になっています。打ち消し残りが $1/k$ に比例し、そこにさらに $(d^{(k)})^2 - (i^{(k)})^2$ の縮小が乗るためです。
証明3：$v^n$ も指数で書けば微分は一瞬
$v = e^{-\delta}$ なので $v^n = e^{-n\delta}$ です。この形にした時点で、$\delta$ での微分は終わっています。
$$\frac{d\,v^n}{d\delta} = \frac{d}{d\delta}e^{-n\delta} = -n\,e^{-n\delta} = -n\,v^n$$
$i$ での微分は、連鎖律で $\delta$ を経由させます。
$$\frac{d\,v^n}{di} = \frac{d\delta}{di} \cdot \frac{d\,v^n}{d\delta}$$
$\delta = \log(1+i)$ なので $\dfrac{d\delta}{di} = \dfrac{1}{1+i} = v$。したがって
$$\frac{d\,v^n}{di} = v \cdot \left(-n v^n\right) = -n\,v^{n+1}$$
$i$ で微分すると $v$ が1つ増える、と覚えるより、$\dfrac{d\delta}{di} = v$ が余分に掛かると理解するほうが確実です。$n = 10$、$i = 5\%$ で数値微分すると $-5.8468$、公式の $-nv^{n+1} = -5.8468$ と一致します。
3つに共通する一手
改めて並べます。
| 証明 | 出発点 | 一手 |
|---|---|---|
| 1 | $i = e^{\delta} - 1$ | 指数を展開する |
| 2 | $\left(1 + i^{(k)}/k\right)^k = e^{\delta}$ | 対数で開いてから展開する |
| 3 | $v^n = e^{-n\delta}$ | 指数のまま微分する |
$\delta$ が指数の肩にある形に持ち込めば、あとは展開するか微分するかだけ。記号が5つあっても、覚える関係式は「$1+i = e^{\delta}$」1本で足ります。残りはそこから作れます。
つまずきポイント
$\fallingdotseq$ と $=$ を区別する。証明1・2は近似式で、証明3は厳密な等式です。$\dfrac{dv^n}{d\delta} = -nv^n$ は打ち切りではないので、どんな $\delta$ でも正確に成り立ちます。近似式を等式のつもりで変形の途中に入れると、誤差が積み上がります。
$d^{(k)}$ の符号を間違える。 $\left(1 - \dfrac{d^{(k)}}{k}\right)^k = e^{-\delta}$ です。括弧の中は引き算で、右辺の指数はマイナス。割引側は両方ともマイナスだと覚えてください。$\log(1-x)$ の展開が全項プラスになるのは、$-\log(1-x) = x + \frac{x^2}{2} + \cdots$ だからです。
$k \to \infty$ の極限を確かめる。 $k$ を大きくすると $i^{(k)}$ も $d^{(k)}$ も $\delta$ に近づきます。証明2の表がまさにそれを示しています。極限で $i^{(k)} \to \delta \leftarrow d^{(k)}$ となることを覚えておくと、大小関係を問われたときに $d^{(k)} < \delta < i^{(k)}$ の順が即座に出ます。
本試験ではこう問われる
利率記号の関係が証明として出ることはありません。大小関係を選ばせる形か、値を計算させる形で出ます。
平成12年度以降の生保数理では、大小関係を選ばせる形式が26年度中7年度（2009・2011・2014・2018・2020・2023・2025年度）に出ています。直近8年度では4回です。
タクティクス 生保数理の第3章「大小系」には7問（いずれも目標解答時間5分）があり、そのうちH23年度の問題には「$d^{(k)}, \delta, i^{(k)}$ の大小関係と $k$ を大きくしていくときの動きはとらえておこう」というコメントが付いています。この記事の証明2がそのまま答えになります。
また第1章「利息の総合問題」には、$i$ にまつわる式変形のパズル問題が並んでいます。ここで扱った指数と対数の往復は、そのまま使う道具です。
まとめ
- 利率記号は5つあるが、覚える関係式は $1 + i = e^{\delta}$ の1本でよい。
- $i \fallingdotseq \delta + \frac{1}{2}\delta^2 + \frac{1}{6}\delta^3$ は $e^{\delta}-1$ の展開。3項で7桁合う。
- $\delta \fallingdotseq \frac{i^{(k)}+d^{(k)}}{2}$ は、符号の違う2次の項が打ち消し合うことによる。
- $v^n = e^{-n\delta}$ と書けば微分は即座。$i$ での微分は $\frac{d\delta}{di} = v$ が余分に掛かる。
- $k \to \infty$ で $i^{(k)}$ も $d^{(k)}$ も $\delta$ に近づく。大小は $d^{(k)} < \delta < i^{(k)}$。
