この記事で扱う証明
生命年金と生命保険を結ぶ恒等式を3つ示します。教科書 第4章 練習問題（2）の（3）です。
証明1（a）
$$\frac{A_{x+n} - A_x}{1 - A_x} + \frac{\ddot{a}_{x+n}}{\ddot{a}_x} = 1$$
証明2（b）
$$\frac{1}{i} - \frac{\axn{x}{n}}{d\,\aaxn{x}{n}} = \frac{\Aterm{x}{n}}{1 - \Aendow{x}{n}}$$
証明3（c）
$$\frac{v\,\aaxn{x}{n} - \axn{x}{n}}{\aaxn{x}{n} - \axn{x}{n}} = \frac{\Aterm{x}{n}}{1 - \Apure{x}{n}}$$
3問とも、使うのは年金と保険を結ぶ2本の式だけです。どれも「年金で書いてある側を保険に読み替える」という同じ動きをします。
使う道具
まず記号を区別します。ここを取り違えると証明2と証明3の違いが見えません。
| 記号 | 名前 | 内容 |
|---|---|---|
| $\Aterm{x}{n}$ | 定期保険 | $n$ 年以内に死亡したら1（1は $x$ の上） |
| $\Apure{x}{n}$ | 生存保険 | $n$ 年後に生存していたら1（1は $n$ の上） |
| $\Aendow{x}{n}$ | 養老保険 | 上の2つの和。$\Aendow{x}{n} = \Aterm{x}{n} + \Apure{x}{n}$ |
上付きの1が $x$ の上にあるか $n$ の上にあるかで、まったく別の保険になります。1が付いていなければ養老保険です。
年金と保険を結ぶ式は2本です。
$$A_x = 1 - d\,\ddot{a}_x, \qquad \Aendow{x}{n} = 1 - d\,\aaxn{x}{n}$$
$$\Aterm{x}{n} = v\,\aaxn{x}{n} - \axn{x}{n}$$
第1の組は「保険と年金は $d$ を介して裏返しの関係」ということ。第2の式は、期始払と期末払の差をとると定期保険が出るという関係です。
さらに、期始払と期末払の差そのものも使います。
$$\aaxn{x}{n} - \axn{x}{n} = 1 - v^n\,\npx{n}{x} = 1 - \Apure{x}{n}$$
期始払は最初の1を払って最後の $n$ 年後を払わない、期末払はその逆だからです。
証明1：$1 - A_x$ を年金に読み替える
$A_x = 1 - d\,\ddot{a}_x$ を使うと、左辺の分子と分母がどちらも年金で書けます。
$$A_{x+n} - A_x = \left(1 - d\,\ddot{a}_{x+n}\right) - \left(1 - d\,\ddot{a}_x\right) = d\left(\ddot{a}_x - \ddot{a}_{x+n}\right)$$
$$1 - A_x = d\,\ddot{a}_x$$
代入します。
$$\frac{A_{x+n} - A_x}{1 - A_x} + \frac{\ddot{a}_{x+n}}{\ddot{a}_x} = \frac{d\left(\ddot{a}_x - \ddot{a}_{x+n}\right)}{d\,\ddot{a}_x} + \frac{\ddot{a}_{x+n}}{\ddot{a}_x}$$
$d$ が約分され、第1項は $1 - \dfrac{\ddot{a}_{x+n}}{\ddot{a}_x}$。第2項と足せば1です。
メーカムの法則で作った生命表（$i = 3\%$、$x = 40$、$n = 20$）で計算すると、左辺はちょうど $1.000000000000$ になります。
意味を言葉にしておきます。$\dfrac{\ddot{a}_{x+n}}{\ddot{a}_x}$ は「$n$ 年後の年金現価が今の何倍か」という比で、その残りが「保険料の増分が上限までの何割か」にあたる。2つを足すと全体になる、というのがこの式です。
証明2：分母を $d\,\ddot{a}$ にそろえる
左辺を通分します。$d = iv$ を使うと $\dfrac{1}{i} = \dfrac{v}{d}$ なので
$$\frac{1}{i} - \frac{\axn{x}{n}}{d\,\aaxn{x}{n}} = \frac{v\,\aaxn{x}{n}}{d\,\aaxn{x}{n}} - \frac{\axn{x}{n}}{d\,\aaxn{x}{n}} = \frac{v\,\aaxn{x}{n} - \axn{x}{n}}{d\,\aaxn{x}{n}}$$
分子は定期保険そのものです。
$$= \frac{\Aterm{x}{n}}{d\,\aaxn{x}{n}}$$
分母は $\Aendow{x}{n} = 1 - d\,\aaxn{x}{n}$ を裏返して $d\,\aaxn{x}{n} = 1 - \Aendow{x}{n}$。
$$= \frac{\Aterm{x}{n}}{1 - \Aendow{x}{n}}$$
同じ生命表で両辺とも $0.193320516630$ になります。
分母に来るのは養老保険です。生存保険ではありません。$d\,\ddot{a}$ を裏返すと養老保険が出てくる、という関係がそのまま効いています。
証明3：分母は生存保険になる
証明2とよく似た形ですが、分母が違います。分子は同じで
$$v\,\aaxn{x}{n} - \axn{x}{n} = \Aterm{x}{n}$$
分母は期始払と期末払の差です。定義の和を書き下すと
$$\aaxn{x}{n} = \sum_{t=0}^{n-1} v^t\,\npx{t}{x}, \qquad \axn{x}{n} = \sum_{t=1}^{n} v^t\,\npx{t}{x}$$
引くと、$t = 0$ の項（値は1）だけが残り、$t = n$ の項（$v^n\,\npx{n}{x}$）だけが消えます。
$$\aaxn{x}{n} - \axn{x}{n} = 1 - v^n\,\npx{n}{x} = 1 - \Apure{x}{n}$$
したがって
$$\frac{v\,\aaxn{x}{n} - \axn{x}{n}}{\aaxn{x}{n} - \axn{x}{n}} = \frac{\Aterm{x}{n}}{1 - \Apure{x}{n}}$$
同じ生命表で両辺とも $0.162002172874$ です。
証明2と証明3を並べる
分子は同じ、分母だけが違います。
| 分母 | 数値 | |
|---|---|---|
| 証明2 | $1 - \Aendow{x}{n} = d\,\aaxn{x}{n}$ | $0.429549$ |
| 証明3 | $1 - \Apure{x}{n} = \aaxn{x}{n} - \axn{x}{n}$ | $0.512590$ |
養老保険は定期保険と生存保険の和なので、2つの分母は定期保険のぶんだけ違います。
$$\left(1 - \Apure{x}{n}\right) - \left(1 - \Aendow{x}{n}\right) = \Aendow{x}{n} - \Apure{x}{n} = \Aterm{x}{n}$$
数値でも $0.512590 - 0.429549 = 0.083041$ で、定期保険 $0.083041$ に一致します。分母が小さいぶん証明2の値のほうが大きく、$0.193320 > 0.162002$ となります。
上付きの1がどこに付いているかを読み違えると、この2つの式は同じに見えます。実際、教科書のこの2問が並んでいるのは、その区別を確認させるためだと考えられます。
3つに共通する一手
| 証明 | 年金から保険への読み替え |
|---|---|
| 1 | $1 - A_x = d\,\ddot{a}_x$ |
| 2 | $d\,\aaxn{x}{n} = 1 - \Aendow{x}{n}$ |
| 3 | $\aaxn{x}{n} - \axn{x}{n} = 1 - \Apure{x}{n}$ |
いずれも「1から保険を引いた形」が年金の式になっています。生命保険と生命年金が、$d$ を挟んで裏返しの関係にあるからです。式を覚えるのではなく、$A = 1 - d\ddot{a}$ の1本から作るのが確実です。
つまずきポイント
上付きの1の位置を読み飛ばす。 $\Aterm{x}{n}$（1が $x$ の上）は定期保険、$\Apure{x}{n}$（1が $n$ の上）は生存保険です。問題文の記号を写すときに位置を落とすと、証明2と証明3を取り違えます。手書きするときも、1をどちらに寄せて書くかを意識してください。
$1 - A$ の $A$ が何かを確認する。 $1 - \Aendow{x}{n} = d\,\aaxn{x}{n}$ は養老保険でしか成り立ちません。定期保険で $1 - \Aterm{x}{n} = d\,\aaxn{x}{n}$ とすると誤りです。生存保険の分だけずれます。
期始払と期末払の差を暗記しようとする。 $\aaxn{x}{n} - \axn{x}{n} = 1 - v^n\,\npx{n}{x}$ は、定義の和を並べて端を見比べれば出ます。期始払は $t=0$ から $n-1$、期末払は $t=1$ から $n$。共通部分が消えて両端だけが残る、という形です。
本試験ではこう問われる
年金と保険の読み替えは、単独では問われません。計算問題の中で「与えられた記号から答えの記号へ移る」ために使います。
タクティクス 生保数理の第3章「保険料＆生命関数系」には8問が並んでいます。H13年度の「一時払い純保険料」が目標解答時間4分、H22年度の「累加・累減保険」が3分。いずれも与えられる記号がそのつど違うので、$A = 1 - d\ddot{a}$ で行き来できるかが速さを決めます。
また、大小関係を選ばせる形式は平成12年度以降の生保数理で26年度中7年度（2009・2011・2014・2018・2020・2023・2025年度）に出ており、そこでも定期・生存・養老の区別がそのまま論点になります。
まとめ
- 生命保険と生命年金は $A = 1 - d\,\ddot{a}$ で裏返しに結ばれる。3つの恒等式はどれもこの1本から出る。
- 定期保険は $\Aterm{x}{n} = v\,\aaxn{x}{n} - \axn{x}{n}$。期始払と期末払の差の形で書ける。
- $1 - \Aendow{x}{n} = d\,\aaxn{x}{n}$（養老）と $1 - \Apure{x}{n} = \aaxn{x}{n} - \axn{x}{n}$（生存）は別物。
- 上付きの1が $x$ の上か $n$ の上かで、定期保険と生存保険が分かれる。
