この記事で扱う証明
累加保険の連続版を2つ示します。教科書 第4章 練習問題（3）の（8）（9）です。
証明1（8）— $(\bar{I}\bar{A})_{x:\angl{n}} = (\bar{I}\bar{A})^{\,1}_{x:\angl{n}} + n\,\Apure{x}{n}$ と定めると
$$(\bar{I}\bar{A})_{x:\angl{n}} = \abxn{x}{n} - \delta\,(\bar{I}\bar{a})_{x:\angl{n}}$$
証明2（9）— $\mu_x < \mu_{x+t}\ (t > 0)$ のとき
$$(\bar{I}\bar{a})_x < \frac{\bar{a}_x}{\mu_x + \delta} < \left(\frac{1}{\mu_x + \delta}\right)^2$$
どちらも、離散版と1対1で対応します。証明の手順は同じで、記号だけが入れ替わります。
使う道具：離散と連続の対応表
まず対応を整理します。
| 離散 | 連続 | 何が変わったか |
|---|---|---|
| $\sum_{t}$ | $\int dt$ | 和が積分に |
| $d = 1 - v$ | $\delta = -\log v$ | 割引率が利力に |
| $v^t$ | $v^t = e^{-\delta t}$ | 同じ（$t$ が連続値になるだけ） |
| $q_{x+t}$ | $\mu_{x+t}\,dt$ | 1年の死亡率が瞬間の死力に |
| $\aaxn{x}{n}$ | $\abxn{x}{n}$ | 期始払が連続払に |
| $\Aendow{x}{n}$ | $\bar{A}_{x:\angl{n}}$ | 年末払が即時払に |
| $(I\ddot{a})_{x:\angl{n}}$ | $(\bar{I}\bar{a})_{x:\angl{n}}$ | 累加の刻みも連続に |
土台の関係式も対応します。
$$\Aendow{x}{n} = 1 - d\,\aaxn{x}{n} \qquad\longleftrightarrow\qquad \bar{A}_{x:\angl{n}} = 1 - \delta\,\abxn{x}{n}$$
連続版の記号の定義を書いておきます。
$$(\bar{I}\bar{a})_{x:\angl{n}} = \int_0^n t\,v^t\,\npx{t}{x}\,dt, \qquad (\bar{I}\bar{A})^{\,1}_{x:\angl{n}} = \int_0^n t\,v^t\,\npx{t}{x}\,\mu_{x+t}\,dt$$
累加の係数が、離散では $t+1$ だったのに連続では $t$ になっている点に注意してください。連続払では「$t$ 時点で年額 $t$ を払う」なので、$t=0$ では0から始まります。
証明1：離散版の $d$ を $\delta$ に替える
離散版の証明を思い出します。$\aaxn{x}{n} - d(I\ddot{a})_{x:\angl{n}}$ を計算し、$d = 1-v$ を分配して隣の項と打ち消しました。
連続版では、積分で部分積分を使います。$(\bar{I}\bar{a})_{x:\angl{n}}$ を書き下します。
$$\delta\,(\bar{I}\bar{a})_{x:\angl{n}} = \delta\int_0^n t\,v^t\,\npx{t}{x}\,dt$$
$\delta\,v^t = -\dfrac{d}{dt}v^t$ を使うと、部分積分で $t\,\npx{t}{x}$ の微分が出てきます。
$$= \left[-t\,v^t\,\npx{t}{x}\right]_0^n + \int_0^n v^t\,\frac{d}{dt}\left(t\,\npx{t}{x}\right)dt$$
括弧の中の微分は積の微分です。$\dfrac{d}{dt}\npx{t}{x} = -\npx{t}{x}\,\mu_{x+t}$ なので
$$\frac{d}{dt}\left(t\,\npx{t}{x}\right) = \npx{t}{x} - t\,\npx{t}{x}\,\mu_{x+t}$$
代入します。
$$\delta\,(\bar{I}\bar{a})_{x:\angl{n}} = -n\,v^n\,\npx{n}{x} + \int_0^n v^t\,\npx{t}{x}\,dt - \int_0^n t\,v^t\,\npx{t}{x}\,\mu_{x+t}\,dt$$
$$= -n\,\Apure{x}{n} + \abxn{x}{n} - (\bar{I}\bar{A})^{\,1}_{x:\angl{n}}$$
移項すると
$$\abxn{x}{n} - \delta\,(\bar{I}\bar{a})_{x:\angl{n}} = (\bar{I}\bar{A})^{\,1}_{x:\angl{n}} + n\,\Apure{x}{n} = (\bar{I}\bar{A})_{x:\angl{n}}$$
メーカムの法則で作った生命表（$i = 3\%$、$x = 40$、$n = 20$）で、両辺とも $10.7091224$ で一致します。
離散版の値は $10.7363871$ でした。近い値ですが一致はしません。連続払と期始払、即時払と年末払の違いが残るからです。
証明2：離散版の $q_x + i$ が $\mu_x + \delta$ になる
離散版では
$$(I\ddot{a})_x < \frac{\ddot{a}_x}{v\,q_x + d} < \left(\frac{1+i}{q_x + i}\right)^2$$
でした。分母の $v\,q_x + d = v(q_x + i)$ が、連続版では $\mu_x + \delta$ にそのまま対応します。
証明1の終身版から始めます。$n \to \infty$ として
$$(\bar{I}\bar{A})_x = \bar{a}_x - \delta\,(\bar{I}\bar{a})_x$$
一方、$(\bar{I}\bar{A})_x$ は保険金 $t$ を払う保険なので
$$(\bar{I}\bar{A})_x = \int_0^{\infty}t\,v^t\,\npx{t}{x}\,\mu_{x+t}\,dt > \mu_x\int_0^{\infty}t\,v^t\,\npx{t}{x}\,dt = \mu_x\,(\bar{I}\bar{a})_x$$
途中で $\mu_{x+t} > \mu_x$ を使って積分の中を小さいもので置き換えました。死力が増加するときの上界を作るときと同じ一手です。
2つを合わせます。
$$\bar{a}_x - \delta\,(\bar{I}\bar{a})_x > \mu_x\,(\bar{I}\bar{a})_x \quad\Longrightarrow\quad \bar{a}_x > \left(\mu_x + \delta\right)(\bar{I}\bar{a})_x$$
$$(\bar{I}\bar{a})_x < \frac{\bar{a}_x}{\mu_x + \delta}$$
第1の不等式が出ました。第2の不等式は、$\bar{a}_x < \dfrac{1}{\mu_x + \delta}$（本章 練習問題（2）の（6））を代入するだけです。
$$\frac{\bar{a}_x}{\mu_x + \delta} < \frac{1}{\mu_x + \delta}\cdot\frac{1}{\mu_x + \delta} = \left(\frac{1}{\mu_x + \delta}\right)^2$$
数値では $(\bar{I}\bar{a})_{40} = 339.90 < 665.52 < 961.04$ です。
離散版の $361.79 < 690.10 < 986.58$ と並べると、対応する位置の値が近いことが確かめられます。
離散と連続を並べる
| 離散 | 連続 | |
|---|---|---|
| 恒等式 | $(IA)_{x:\angl{n}} = \aaxn{x}{n} - d\,(I\ddot{a})_{x:\angl{n}}$ | $(\bar{I}\bar{A})_{x:\angl{n}} = \abxn{x}{n} - \delta\,(\bar{I}\bar{a})_{x:\angl{n}}$ |
| 数値 | $10.7363871$ | $10.7091224$ |
| 上界の分母 | $v\,q_x + d = v(q_x+i)$ | $\mu_x + \delta$ |
| 上界（終身） | $\left(\dfrac{1+i}{q_x+i}\right)^2 = 986.58$ | $\left(\dfrac{1}{\mu_x+\delta}\right)^2 = 961.04$ |
離散版に出てくる $(1+i)$ が、連続版では消えています。$\dfrac{1}{v} = 1+i$ に対応するものが、連続では1（割引の刻みがないので）だからです。
つまずきポイント
累加の係数が離散と連続で違う。離散では $(I\ddot{a})_{x:\angl{n}} = \sum(t+1)v^t\npx{t}{x}$ で、$t=0$ の項の係数が1。連続では $(\bar{I}\bar{a})_{x:\angl{n}} = \int t\,v^t\npx{t}{x}dt$ で、$t=0$ では0です。機械的に置き換えるとここでずれます。「第1年度は年額1」なのか「時点 $t$ で年額 $t$」なのかを設定から読んでください。
$q$ と $\mu\,dt$ の対応。離散の $q_{x+t}$ は「1年間に死ぬ確率」、連続の $\mu_{x+t}$ は「単位時間あたりの死力」で、次元が違います。対応するのは $q_{x+t} \leftrightarrow \mu_{x+t}\,dt$ です。$\mu$ は1を超えることもあります。
$d$ と $\delta$ の大小。 $d < \delta < i$ です。同じ役割の記号ですが値は違うので、離散版の数値をそのまま連続版に使えません。上の表でも恒等式の値が $10.736$ と $10.709$ で違います。
部分積分の境界項を落とさない。証明1では $\left[-t\,v^t\npx{t}{x}\right]_0^n$ が生存保険 $n\,\Apure{x}{n}$ を生みます。ここを0と思って落とすと、養老の項が消えて定期保険の式になってしまいます。$t=0$ では0ですが、$t=n$ では0ではありません。
本試験ではこう問われる
連続の設定は、即時払や連続払として問題文に現れます。タクティクス 生保数理の第3章「累加・累減系」7問のなかにも、連続の設定のものが混ざっています。
第2章「死力」の3問は連続そのものを扱う節で、2025年度の問題は目標解答時間8分。不定積分の計算が要ります。
離散と連続のどちらで問われるかは年度によって変わりますが、対応表を持っていれば準備は1度で済みます。片方の証明を手でたどっておけば、もう片方は書き写せるというのが、この2問を並べて読む意味です。
まとめ
- 連続版は、和が積分に、$d$ が $\delta$ に、$q_{x+t}$ が $\mu_{x+t}dt$ に置き換わる。
- 恒等式 $(\bar{I}\bar{A}) = \bar{a} - \delta(\bar{I}\bar{a})$ は、部分積分1回で出る。境界項が生存保険になる。
- 上界の分母は、離散の $v(q_x+i)$ が連続の $\mu_x+\delta$ に対応する。
- 累加の係数だけは対応が崩れる。離散は $t+1$、連続は $t$。
- $d < \delta < i$ なので、離散版の数値を連続版に流用してはいけない。
