この記事で扱う証明

保険料が2つの年金現価の逆数の差になる、という式を2通りの道筋で示します。教科書 第4章 練習問題（4）の（4）（5）です。

証明1（4）— 積立の不足額を保険金とする定期保険の年払保険料は

$$\frac{1}{\aaxn{x}{n}} - \frac{1}{\aann{n}}$$

証明2（5）— 養老保険の年払保険料 $P_{x:\angl{n}}$ と元金償還保険の年払保険料 $P_{\angl{n}}$ の差は

$$P_{x:\angl{n}} - P_{\angl{n}} = \frac{1}{\aaxn{x}{n}} - \frac{1}{\aann{n}}$$

同じ式に、まったく違う2つの道から到達します。証明1は保険金を逓減させた定期保険として、証明2は2つの商品の差として。

設定を言葉で

$n$ 年後に1を用意したい人がいるとします。毎年一定額を積み立てる計画です。

死亡しなければ、確定年金の形で積み立てて $n$ 年後に1になります。年払額は

$$P_{\angl{n}} = \frac{1}{\ddot{s}_{\angl{n}}} = \frac{1}{\aann{n}} - d$$

これは元金償還保険の保険料で、第1章で扱ったものです。

問題は、途中で亡くなった場合です。$t$ 年目に亡くなると、それまでの積立分しかありません。目標の1に対して不足が出ます。

$t$ 年後の到達額は $1 - \dfrac{\aann{n-t}}{\aann{n}}$、したがって目標との差は

$$\frac{\aann{n-t}}{\aann{n}}$$

この不足を保険金として払う定期保険を付ければ、死んでも生きても $n$ 年後に1が用意できることになります。

$t$ 到達額 不足額（保険金）
0 $0.0000$ $1.0000$
5 $0.1976$ $0.8024$
10 $0.4266$ $0.5734$
20 $1.0000$ $0.0000$

保険金が年々減っていくので、これは逓減定期保険です。積立が進むほど保障は要らなくなる、という自然な設計になっています。

証明1：逓減定期保険として計算する

保険金 $B_t = \dfrac{\aann{n-t}}{\aann{n}}$ を年度末に払う定期保険の一時払保険料を出します。

$$\text{APV} = \sum_{t=1}^{n} \frac{\aann{n-t}}{\aann{n}}\,v^t\,\npx{t-1}{x}\,q_{x+t-1}$$

$\aann{n-t} = \dfrac{1 - v^{n-t}}{d}$ を入れて分けます。

$$= \frac{1}{d\,\aann{n}}\sum_{t=1}^{n}\left(1 - v^{n-t}\right)v^t\,\npx{t-1}{x}\,q_{x+t-1}$$

$$= \frac{1}{d\,\aann{n}}\left\{\sum_{t=1}^{n} v^t\,\npx{t-1}{x}\,q_{x+t-1} - v^n\sum_{t=1}^{n}\npx{t-1}{x}\,q_{x+t-1}\right\}$$

第1項は定期保険 $\Aterm{x}{n}$。第2項のシグマは「$n$ 年以内に死ぬ確率」なので $1 - \npx{n}{x}$ です。

$$= \frac{1}{d\,\aann{n}}\left\{\Aterm{x}{n} - v^n\left(1 - \npx{n}{x}\right)\right\}$$

$v^n\npx{n}{x} = \Apure{x}{n}$ を使い、$\Aterm{x}{n} + \Apure{x}{n} = \Aendow{x}{n}$ でまとめます。

$$= \frac{1}{d\,\aann{n}}\left\{\Aendow{x}{n} - v^n\right\}$$

年払保険料は、これを $\aaxn{x}{n}$ で割ったものです。

$$P = \frac{\Aendow{x}{n} - v^n}{d\,\aann{n}\,\aaxn{x}{n}}$$

ここで $\Aendow{x}{n} = 1 - d\,\aaxn{x}{n}$ と $v^n = 1 - d\,\aann{n}$ を入れます。

$$\Aendow{x}{n} - v^n = \left(1 - d\,\aaxn{x}{n}\right) - \left(1 - d\,\aann{n}\right) = d\left(\aann{n} - \aaxn{x}{n}\right)$$

したがって

$$P = \frac{d\left(\aann{n} - \aaxn{x}{n}\right)}{d\,\aann{n}\,\aaxn{x}{n}} = \frac{\aann{n} - \aaxn{x}{n}}{\aann{n}\,\aaxn{x}{n}} = \frac{1}{\aaxn{x}{n}} - \frac{1}{\aann{n}}$$

メーカムの法則で作った生命表（$i = 3\%$、$x = 40$、$n = 20$）で、両辺とも $0.0025485$ です。

証明2：2つの商品の差として計算する

まったく別の道から同じ式に着きます。

養老保険の年払保険料と、元金償還保険の年払保険料を並べます。どちらも「1から引く」形の関係式から出ます。

$$P_{x:\angl{n}} = \frac{\Aendow{x}{n}}{\aaxn{x}{n}} = \frac{1 - d\,\aaxn{x}{n}}{\aaxn{x}{n}} = \frac{1}{\aaxn{x}{n}} - d$$

$$P_{\angl{n}} = \frac{v^n}{\aann{n}} = \frac{1 - d\,\aann{n}}{\aann{n}} = \frac{1}{\aann{n}} - d$$

どちらも「年金現価の逆数から $d$ を引く」形です。差をとれば $d$ が消えます。

$$P_{x:\angl{n}} - P_{\angl{n}} = \left(\frac{1}{\aaxn{x}{n}} - d\right) - \left(\frac{1}{\aann{n}} - d\right) = \frac{1}{\aaxn{x}{n}} - \frac{1}{\aann{n}}$$

数値では $P_{40:\angl{20}} = 0.0386803$、$P_{\angl{20}} = 0.0361318$、差が $0.0025485$。証明1の答えと一致します。

2つの道が同じ答えになる理由

言葉にすると当たり前のことを計算しています。

養老保険は「死んでも生きても $n$ 年後に1」。元金償還保険も「$n$ 年後に必ず1」。どちらも同じ給付ですが、元金償還保険には死亡保障がありません。途中で死ねば積立が止まるので、そこまでの分しか残らない。

その差が、証明1で計算した「不足を埋める保険」です。養老保険の保険料から積立だけの保険料を引けば、死亡保障の対価が残る。それが2つの逆数の差になっています。

2つの道を並べる

道筋 計算量
証明1 逓減定期保険の定義から積分（和）する 長い
証明2 2つの保険料の差をとる 3行

答えは同じですが、手数がまるで違います。商品を足し引きで組み立てられれば、定義に戻る必要がありません。

試験でこの形が出たら、証明2の道を使ってください。証明1は「なぜそうなるか」を確かめるためのものです。

つまずきポイント

「$P = \frac{1}{\ddot{a}} - d$」の形を覚える。養老保険でも元金償還保険でも、年払保険料は「年金現価の逆数から $d$ を引く」形になります。これは $A = 1 - d\,\ddot{a}$ の両辺を $\ddot{a}$ で割っただけです。この形が頭に入っていると、差をとる計算が3行で済みます。

定期保険の保険料と混同しない。この記事で出た $\dfrac{1}{\aaxn{x}{n}} - \dfrac{1}{\aann{n}} = 0.0025485$ は、逓減定期保険の保険料です。保険金が一定の定期保険 $P^{\,1}_{x:\angl{n}}$ とは別物で、そちらは同じ生命表で $0.0056307$。倍以上違います。保険金が年々減る設計だからです。

到達額の式を確かめる。 $t$ 年後の到達額が $1 - \dfrac{\aann{n-t}}{\aann{n}}$ になるのは、積立の終価 $\dfrac{\ddot{s}_{\angl{t}}}{\ddot{s}_{\angl{n}}}$ と同じものです。数値でも $t=10$ でどちらも $0.4266$。現価で見るか終価で見るかの違いで、第1章の借入金残高と同じ構造です。

確定年金と生命年金を取り違える。前者は確定年金（生存に関係なし）、後者は生命年金です。$\aann{20} = 15.324$、$\aaxn{40}{20} = 14.748$ で、生命年金のほうが小さい。生きている間しか払わないからです。逆数にすると大小が入れ替わるので、差の符号が正になります。

本試験ではこう問われる

保険料を差の形で表す問題は、商品の組み合わせとして出ます。

タクティクス 生保数理の第3章「合成・還付・特殊・変形系」には10問が並んでいます。H28年度の「年払純保険料」が目標解答時間4分。既存の商品を足し引きして新しい商品を作る設定です。

同じ第3章の「保険料＆生命関数系」8問でも、$P = \dfrac{1}{\ddot{a}} - d$ の形は繰り返し使います。H26年度の問題には「基数での表現に十分習熟しておくことも合格へ」というコメントが付いています。

タクティクスの「解約その他諸変更に伴う計算」（教科書 第9章、18問）の払済保険・延長保険でも、「途中で止まったらどうなるか」を考えます。この記事の設定と地続きです。

まとめ

  • 積立の不足を埋める保険は、保険金が年々減る逓減定期保険。積立が進むほど保障は要らなくなる。
  • その年払保険料は $\dfrac{1}{\aaxn{x}{n}} - \dfrac{1}{\aann{n}}$。2つの年金現価の逆数の差。
  • 同じ式が、養老保険と元金償還保険の保険料の差としても出る。$d$ が打ち消し合うため。
  • 年払保険料はどちらも「年金現価の逆数から $d$ を引く」形。この形を覚えれば差の計算は3行。
  • 保険金が一定の定期保険とは別物。数値例では $0.0025$ 対 $0.0056$ で倍以上違う。