この記事で扱う証明
保険料の払い方を年1回から変えたときの式を3つ示します。教科書 第4章 練習問題（5）の（2）（3）（4）です。
証明1（2）— 年 $k$ 回払の分割払真保険料は、年払の記号だけで近似できる
$$P^{(k)}_{x:\angl{n}} \fallingdotseq \frac{P_{x:\angl{n}} + \dfrac{k-1}{2k}\,i\,P^{\,1}_{x:\angl{n}}}{1 - \dfrac{k-1}{2k}\left(P^{\,1}_{x:\angl{n}} + d\right)}$$
証明2（3）— 連続払保険料を年齢で微分すると、保険料どうしの積になる
$$\frac{d}{dx}\,\bar{P}^{(\infty)}_{x:\angl{n}} = \left(\bar{P}^{(\infty)}_{x:\angl{n}} + \delta\right)\left(\bar{P}^{(\infty)\,1}_{x:\angl{n}} - \mu_x\right)$$
ここで $\bar{P}^{(\infty)}_{x:\angl{n}} = \dfrac{\bar{A}_{x:\angl{n}}}{\bar{a}_{x:\angl{n}}}$ は養老保険、$\bar{P}^{(\infty)\,1}_{x:\angl{n}} = \dfrac{\bar{A}^{\,1}_{x:\angl{n}}}{\bar{a}_{x:\angl{n}}}$ はその定期保険部分の連続払保険料です。
証明3（4）— 生存者数と年金現価の積の対数微分は、終身保険の連続払保険料
$$\frac{d}{dx}\log\left(l_x\,\bar{a}_x\right) = -\,\bar{P}^{(\infty)}_x$$
設定を言葉で
分割払の保険料には2つの考え方があります。1つは、あくまで年払契約が基準で、その保険料を年内で $k$ 回に分けて繰り延べて納めるとみる分割賦払保険料 $P^{[k]}$。繰り延べた分の利息の損失が乗るため、年額は年払保険料 $P$ よりわずかに増えます（$P = P^{[k]}\,\ddot{a}^{(k)}_{\angl{1}}$ の関係で結ばれます）。もう1つは、半年なら半年をそれ自身1つの保険期間と考える分割払真保険料 $P^{(k)}$ です。賦払では年度途中に死亡すると年度分の未収保険料を徴収しますが、真保険料では徴収しません。その分、真保険料のほうがさらにすこし高くなります。
教科書の練習問題（5）の（1）が数字で見せてくれます。40歳契約・10年満期の満期保険金倍額支払養老保険（死亡保険金100万円・即時支払、教科書付録の全会社表・予定利率5.75%）で、年払保険料145,085円に対し、半年払の年額は賦払で147,113円、真保険料で147,172円。年払よりどちらも高く、真保険料が賦払をわずかに上回ります。
この数値例は保険金即時支払の型（$\bar{P}$ 系）です。一方、証明1で扱うのは保険金を各分割期間の末に支払う型（$P^{(k)}$ 系）で、割増の内訳が1項多くなります。仕組みは共通なので、まず証明1で内訳の全部が見える型を片づけます。証明2と証明3は $k \to \infty$ の極限、つまり保険料を連続的に払い込む理論上の保険料 $\bar{P}^{(\infty)}$ の性質です。
使う道具
証明1で使う近似は2本です。どちらも教科書 第4章で導かれています。
保険金を死亡年度末でなく $\frac{1}{k}$ 年度末に支払うと、支払が平均 $\frac{k-1}{2k}$ 年早まる分だけ一時払保険料が増えます（4.9.16）。
$$A^{(k)}_{x:\angl{n}} - A_{x:\angl{n}} \fallingdotseq \frac{k-1}{2k}\,i\,A^{\,1}_{x:\angl{n}}$$
年 $k$ 回払の生命年金現価は、期始払から $\frac{k-1}{2k}$ 倍の補正を引いた形で近似できます（4.4.3）。
$$\ddot{a}^{(k)}_{x:\angl{n}} \fallingdotseq \aaxn{x}{n} - \frac{k-1}{2k}\left(1 - v^n\,\npx{n}{x}\right)$$
このほか、養老保険の関係式 $A^{\,1}_{x:\angl{n}} = 1 - d\,\aaxn{x}{n} - v^n\,\npx{n}{x}$（4.6.11）、連続払保険料の逆数表示 $\bar{P}^{(\infty)}_{x:\angl{n}} = \dfrac{1}{\abxn{x}{n}} - \delta$、そして年齢微分の3本を使います。
$$\frac{d\,\abxn{x}{n}}{dx} = \mu_x\,\abxn{x}{n} - \bar{A}^{\,1}_{x:\angl{n}}, \qquad \frac{d\,\bar{a}_x}{dx} = \bar{a}_x(\mu_x + \delta) - 1, \qquad \frac{d}{dx}\left(l_x\,\bar{a}_x\right) = -\,l_x\,\bar{A}_x$$
年齢微分の3本は教科書 第4章 練習問題（2）の（7）（8）で示されているものです（この導出は別の記事で扱っています）。
証明1：分母と分子を年金現価で割って、保険料に読み替える
真保険料の定義から出発します。
$$P^{(k)}_{x:\angl{n}} = \frac{A^{(k)}_{x:\angl{n}}}{\ddot{a}^{(k)}_{x:\angl{n}}} \fallingdotseq \frac{A_{x:\angl{n}} + \dfrac{k-1}{2k}\,i\,A^{\,1}_{x:\angl{n}}}{\aaxn{x}{n} - \dfrac{k-1}{2k}\left(1 - v^n\,\npx{n}{x}\right)}$$
分母と分子を $\aaxn{x}{n}$ で割ります。分子は保険料の定義 $P = A/\ddot{a}$ そのままの形になります。
$$\frac{A_{x:\angl{n}}}{\aaxn{x}{n}} + \frac{k-1}{2k}\,i\,\frac{A^{\,1}_{x:\angl{n}}}{\aaxn{x}{n}} = P_{x:\angl{n}} + \frac{k-1}{2k}\,i\,P^{\,1}_{x:\angl{n}}$$
分母に残った $\dfrac{1 - v^n\,\npx{n}{x}}{\aaxn{x}{n}}$ は、（4.6.11）を $1 - v^n\,\npx{n}{x} = A^{\,1}_{x:\angl{n}} + d\,\aaxn{x}{n}$ と読み替えて
$$\frac{1 - v^n\,\npx{n}{x}}{\aaxn{x}{n}} = \frac{A^{\,1}_{x:\angl{n}}}{\aaxn{x}{n}} + d = P^{\,1}_{x:\angl{n}} + d$$
とすれば、これも保険料の記号になります。合わせて
$$P^{(k)}_{x:\angl{n}} \fallingdotseq \frac{P_{x:\angl{n}} + \dfrac{k-1}{2k}\,i\,P^{\,1}_{x:\angl{n}}}{1 - \dfrac{k-1}{2k}\left(P^{\,1}_{x:\angl{n}} + d\right)}$$
が得られます。
この式を1次の精度で展開すると、割増の内訳が読めます。
$$P^{(k)}_{x:\angl{n}} - P_{x:\angl{n}} \fallingdotseq \frac{k-1}{2k}\,P^{(k)}_{x:\angl{n}}\,P^{\,1}_{x:\angl{n}} + \frac{k-1}{2k}\,d\,P^{(k)}_{x:\angl{n}} + \frac{k-1}{2k}\,i\,P^{\,1}_{x:\angl{n}}$$
第1項は死亡契約から年度の未収保険料を徴収しないことの割増、第2項は保険料が遅れて入ることによる利息の損失、第3項は保険金の支払時期が年度末から $\frac{1}{k}$ 年度末に早まることによる利息の損失です。
冒頭の数値例（保険金即時支払）では、保険金の支払時期は払い方によらず同じなので第3項が現れず、割増は第1項と第2項だけになります（教科書 4.17.8）。真保険料147,172円と賦払147,113円の差59円が第1項、賦払と年払145,085円の差2,028円が第2項に対応します。
証明2：逆数の形に直してから微分する
連続払保険料は逆数の形で書けます。
$$\bar{P}^{(\infty)}_{x:\angl{n}} = \frac{1}{\abxn{x}{n}} - \delta$$
$\delta$ は定数なので、微分は第1項だけです。合成関数の微分で
$$\frac{d}{dx}\,\bar{P}^{(\infty)}_{x:\angl{n}} = -\frac{1}{\left(\abxn{x}{n}\right)^2}\cdot\frac{d\,\abxn{x}{n}}{dx} = -\frac{\mu_x\,\abxn{x}{n} - \bar{A}^{\,1}_{x:\angl{n}}}{\left(\abxn{x}{n}\right)^2}$$
分子を割り戻して、定期保険部分の保険料 $\bar{P}^{(\infty)\,1}_{x:\angl{n}} = \bar{A}^{\,1}_{x:\angl{n}} \big/ \abxn{x}{n}$ を作ります。
$$= \frac{1}{\abxn{x}{n}}\left(\frac{\bar{A}^{\,1}_{x:\angl{n}}}{\abxn{x}{n}} - \mu_x\right) = \left(\bar{P}^{(\infty)}_{x:\angl{n}} + \delta\right)\left(\bar{P}^{(\infty)\,1}_{x:\angl{n}} - \mu_x\right)$$
最後は逆数表示をもう一度使って $\dfrac{1}{\abxn{x}{n}} = \bar{P}^{(\infty)}_{x:\angl{n}} + \delta$ と読み替えました。
$n \to \infty$ とすれば終身保険になり、定期部分と全体の区別が消えて（$\bar{P}^{(\infty)\,1} \to \bar{P}^{(\infty)}_x$）、きれいな形に落ちます。
$$\frac{d}{dx}\,\bar{P}^{(\infty)}_x = \left(\bar{P}^{(\infty)}_x + \delta\right)\left(\bar{P}^{(\infty)}_x - \mu_x\right)$$
証明3：対数微分は「割るだけ」
対数の微分は、中身の微分を中身で割ったものです。
$$\frac{d}{dx}\log\left(l_x\,\bar{a}_x\right) = \frac{1}{l_x\,\bar{a}_x}\cdot\frac{d}{dx}\left(l_x\,\bar{a}_x\right)$$
積の微分 $\dfrac{d}{dx}(l_x\,\bar{a}_x) = -\,l_x\,\bar{A}_x$（練習問題（2）の（8））を入れると
$$= \frac{-\,l_x\,\bar{A}_x}{l_x\,\bar{a}_x} = -\,\frac{\bar{A}_x}{\bar{a}_x} = -\,\bar{P}^{(\infty)}_x$$
$l_x\,\bar{a}_x$ は「$x$ 歳の生存者全員に年金を約束したときの原資の総額」です。その減り方の割合が、ちょうど終身保険の連続払保険料になっている、というのがこの式の読み方です。
つまずきポイント
証明2の第2因子は、養老保険ではなく定期保険部分の保険料です。両方を同じ $\bar{P}^{(\infty)}_{x:\angl{n}}$ と読んでしまうと、有期の場合は成り立ちません。退化した例で確かめられます。死力が年齢によらず一定（$\mu_x = \mu$）なら、$\abxn{x}{n}$ は $x$ に依存しないので左辺の微分は0。このとき $\bar{A}^{\,1}_{x:\angl{n}} = \mu\,\abxn{x}{n}$ なので $\bar{P}^{(\infty)\,1} - \mu = 0$ となり、正しい式は両辺0で一致します。ところが第2因子を養老保険の $\bar{P}^{(\infty)} = \dfrac{1}{\bar{a}} - \delta$ で読むと、$\bar{P}^{(\infty)} - \mu$ は満期部分 $v^n\,\npx{n}{x}$ の分だけ正に残り、右辺が0になりません。区別が要らなくなるのは $n \to \infty$ の終身のときだけです。
賦払 $P^{[k]}$ と真保険料 $P^{(k)}$ の記号も混同しやすいところです。角括弧の賦払は年払契約の分割納付なので死亡年度の未収分を徴収する、丸括弧の真保険料は徴収しない。数値例のとおり真保険料のほうが高くなります。どちらの前提かで答えが変わるので、問題文の記号をまず確認してください。
本試験ではこう問われる
タクティクス 生保数理の第3章「微分系」には3問が並び、H25.1(5) は年 $k$ 回払・連続払の保険料を扱います。講師コメントに「微分系の公式は導出も含めて自在に使えるように準備しておこう」とあり、証明2・3で使った年齢微分の3本はその前提です。
同じ第3章の総合問題には、分割払保険料の近似式を使う問題があり、参考類題として教科書第1〜4章の練習問題、つまりこの記事で扱った問題そのものが挙げられています。教科書の練習問題が本試験の直接の母体になっている例です。
過去問では、連続払の設定は平成12年度以降の26年度中12年度に登場します。分割払の設定も2010年度・2017年度に出ています。
まとめ
- 分割払真保険料の近似式は、分母と分子を年金現価で割って保険料の記号に読み替えるだけで出る。割増の内訳は、未収保険料・保険料入金の遅れ・保険金支払の前倒しの3つ。
- 連続払保険料の年齢微分は、逆数表示 $\bar{P} = \dfrac{1}{\bar{a}} - \delta$ に直してから合成関数の微分。第2因子に現れるのは定期保険部分の保険料で、養老保険の保険料と混同すると有期では成り立たない。
- $l_x\,\bar{a}_x$ の対数微分は終身保険の連続払保険料にマイナスを付けたもの。年金原資の減る割合が保険料、という読み方ができる。
※ 厳密に言えば（補注）
- 証明2・証明3の年齢微分は、年齢 $x$ を連続変数として扱い、$l_x$ が微分可能（死力 $\mu_x = -\dfrac{d}{dx}\log l_x$ が定義できる）で利力 $\delta$ が一定、という連続モデルの前提での式です。整数年齢しか持たない生命表の値をそのまま微分できるわけではありません。試験でもこの前提は暗黙に置かれています。
- 証明1の近似式は、1年の中で死亡が一様に起きるという近似（教科書 4.4.3・4.9.16 の導出時の仮定）を重ねた1次近似です。数値例の59円・2,028円という内訳の対応も、この近似の精度の範囲での話です。
