問題
出典は合格へのタクティクス 数学（上巻）第2章 連続型分布、2-3 ガンマ分布の問題です。参考類題として H13.1(6) が挙げられています。目標解答時間は7分。
確率変数 $X$ の確率密度関数が、
$$f(x) = \frac{\beta^{\alpha}}{\Gamma(\alpha)} x^{\alpha-1} e^{-\beta x} \qquad (x > 0,\ \alpha, \beta > 0)$$
のとき、$E(X^n)$ はいくつになるか求めなさい（$n$ は正の整数。なお答えの式は実数 $n > -\alpha$ でもそのまま成り立ちます）。
まず何に着目するか
期待値の定義に $x^n$ を掛けて積分するところまでは、誰でも書けます。
$$E(X^n) = \int_0^{\infty} x^n \cdot \frac{\beta^{\alpha}}{\Gamma(\alpha)} x^{\alpha-1} e^{-\beta x}\, dx$$
問題はこの先です。ここで部分積分を始めると、$n$ 回繰り返すことになって時間が溶けます。積率母関数を求めてから $n$ 回微分する道も同じで、$n$ が具体的な数でない以上は一般項を追う必要があります。
着目すべきは、$x^n$ と $x^{\alpha-1}$ をまとめた形です。
$$x^n \cdot x^{\alpha-1} = x^{(\alpha+n)-1}$$
肩が $(\alpha+n)-1$ になりました。これは、もとの密度関数で $\alpha$ を $\alpha+n$ に取り替えた形と同じです。
つまりこの積分は、計算するものではなく読むものです。被積分関数がガンマ関数の定義そのものの形をしているので、公式に当てはめれば値が確定します。
解法の筋道
使う道具は1つだけです。
$$\int_0^{\infty} x^{\alpha-1} e^{-\beta x}\, dx = \frac{\Gamma(\alpha)}{\beta^{\alpha}}$$
これはガンマ関数の定義を、変数変換で一般の $\beta$ に拡張したものです。$\beta = 1$ のときが定義そのもので、$t = \beta x$ と置けばこの形が出ます。
覚え方としては、密度関数が全区間で1に積分されることから逆算するのが確実です。
$$\int_0^{\infty} \frac{\beta^{\alpha}}{\Gamma(\alpha)} x^{\alpha-1} e^{-\beta x}\, dx = 1$$
両辺に $\Gamma(\alpha)/\beta^{\alpha}$ を掛ければ、そのまま上の式になります。公式を忘れても、密度の全積分が1であることから作り直せます。
方針が決まりました。$x^n$ を $x^{\alpha-1}$ に吸収させ、$\alpha$ を $\alpha+n$ と読み替えて公式に当てる。それだけです。
計算
定義から始めます。
$$E(X^n) = \int_0^{\infty} x^n \cdot \frac{\beta^{\alpha}}{\Gamma(\alpha)} x^{\alpha-1} e^{-\beta x}\, dx = \frac{\beta^{\alpha}}{\Gamma(\alpha)} \int_0^{\infty} x^{(\alpha+n)-1} e^{-\beta x}\, dx$$
積分の部分に公式を当てます。$\alpha$ のところが $\alpha+n$ になっているだけです。
$$\int_0^{\infty} x^{(\alpha+n)-1} e^{-\beta x}\, dx = \frac{\Gamma(\alpha+n)}{\beta^{\alpha+n}}$$
代入します。
$$E(X^n) = \frac{\beta^{\alpha}}{\Gamma(\alpha)} \cdot \frac{\Gamma(\alpha+n)}{\beta^{\alpha+n}} = \frac{\Gamma(\alpha+n)}{\Gamma(\alpha)\, \beta^{n}}$$
答えは $\dfrac{\Gamma(\alpha+n)}{\Gamma(\alpha)\beta^n}$ です。
$\beta^{\alpha}$ と $\beta^{\alpha+n}$ が約分されて $\beta^n$ だけが分母に残ります。$\alpha$ が消えるので、$\beta$ の肩には $n$ しか出てきません。
検算をします。$n = 1$ を入れると
$$E(X) = \frac{\Gamma(\alpha+1)}{\Gamma(\alpha)\beta} = \frac{\alpha\Gamma(\alpha)}{\Gamma(\alpha)\beta} = \frac{\alpha}{\beta}$$
ガンマ分布の平均 $\alpha/\beta$ に一致しました。$\Gamma(\alpha+1) = \alpha\Gamma(\alpha)$ を使っています。
$n = 2$ なら
$$E(X^2) = \frac{\Gamma(\alpha+2)}{\Gamma(\alpha)\beta^2} = \frac{(\alpha+1)\alpha}{\beta^2}$$
したがって
$$V(X) = \frac{(\alpha+1)\alpha}{\beta^2} - \left(\frac{\alpha}{\beta}\right)^2 = \frac{\alpha}{\beta^2}$$
分散 $\alpha/\beta^2$ にも一致します。2か所で合ったので、係数の取り違えはありません。
別解：尺度を1に揃えてから戻す
$\beta$ を式の中に持ち歩かない方法もあります。
ガンマ分布には、定数倍しても形状母数が変わらないという性質があります。$X \sim \Gamma(\alpha, \beta)$、$c > 0$ として
$$cX \sim \Gamma\!\left(\alpha, \frac{\beta}{c}\right)$$
これを使うと、$X' \sim \Gamma(\alpha, 1)$ に対して $X'/\beta$ が $\Gamma(\alpha, \beta)$ に従うことになります。$\beta$ を1に固定した標準形で計算してから、最後に割り戻せばよい。
標準形のモーメントは簡単です。
$$E\!\left(X'^n\right) = \int_0^{\infty} x^n \cdot \frac{1}{\Gamma(\alpha)} x^{\alpha-1} e^{-x}\, dx = \frac{\Gamma(\alpha+n)}{\Gamma(\alpha)}$$
$\beta$ が式に現れないぶん見通しがよくなります。あとは
$$E(X^n) = E\!\left[\left(\frac{X'}{\beta}\right)^n\right] = \frac{E\left(X'^n\right)}{\beta^n} = \frac{\Gamma(\alpha+n)}{\Gamma(\alpha)\beta^n}$$
同じ答えになりました。$\beta$ が最後に $\beta^n$ としてまとめて出てくるところが、この道筋の見どころです。$\beta$ は尺度を決めるだけの母数なので、$n$ 乗すれば $\beta^n$ 倍だけ効く。それ以上のことはしません。
つまずきポイント：$\beta$ が率なのか尺度なのかで答えが逆数になる
ガンマ分布には記法が2通りあります。
$$f(x) = \frac{\beta^{\alpha}}{\Gamma(\alpha)} x^{\alpha-1} e^{-\beta x} \quad \text{（$\beta$ は率。平均は $\alpha/\beta$）}$$
$$f(x) = \frac{1}{\Gamma(\alpha)\theta^{\alpha}} x^{\alpha-1} e^{-x/\theta} \quad \text{（$\theta$ は尺度。平均は $\alpha\theta$）}$$
$\beta$ と $\theta$ は互いに逆数です。どちらも「ガンマ分布の第2パラメータ」と呼ばれます。
取り違えると、答えの分母と分子が入れ替わります。
$$E(X^n) = \frac{\Gamma(\alpha+n)\beta^n}{\Gamma(\alpha)} \quad \text{(これは誤り)}$$
$$E(X^n) = \frac{\Gamma(\alpha+n)}{\Gamma(\alpha)\beta^n} \quad \text{(正しい)}$$
見分け方は、指数の肩を見ることです。$e^{-\beta x}$ と書いてあれば $\beta$ は率で、分母に来ます。$e^{-x/\theta}$ と書いてあれば $\theta$ は尺度で、分子に来ます。分布の名前とパラメータの値だけで受け渡しをせず、密度関数の形を一度書いてから進めるのが確実です。
損保数理ではクレーム額の分布としてガンマ分布が繰り返し出てきますが、そちらでは尺度で書く流儀が使われることがあります。科目をまたぐときは特に注意が要ります。
本試験ではこう問われる
原問は2001年度（H13）問題1(6)です。ここには大きな違いがあります。
確率変数 $X$ の確率密度関数が、$f(x) = \begin{cases} a e^{-ax} & (x > 0) \\ 0 & (x \leq 0)\end{cases}$（ただし、$a > 0$）のとき、$E(X^n) = \fbox{ }$ である。
原問はガンマ分布ではなく、指数分布です。タクティクスの類題は、これをガンマ分布に一般化したものになっています。
指数分布は $\Gamma(1, a)$ にあたるので、答えの式に $\alpha = 1$、$\beta = a$ を入れれば戻ります。
$$E(X^n) = \frac{\Gamma(1+n)}{\Gamma(1)\, a^n} = \frac{n!}{a^n}$$
$\Gamma(1) = 1$、$\Gamma(1+n) = n!$ を使いました。$n = 1$ で $1/a$、$n = 2$ で $2/a^2$。指数分布の平均 $1/a$ と、$V = 2/a^2 - 1/a^2 = 1/a^2$ に一致します。
類題のほうが一般的な形なので、こちらを覚えておけば原問はその特別な場合として出せます。逆に、指数分布の $n!/a^n$ だけを覚えていると、形状母数が1でないときに手が止まります。
ガンマ分布は他の分布への入口でもあります。カイ2乗分布は $\Gamma(\phi/2, 1/2)$ にあたるので、この式から自由度 $\phi$ のカイ2乗分布のモーメントもそのまま出ます。
$$E(X^n) = \frac{\Gamma(\phi/2 + n)}{\Gamma(\phi/2)(1/2)^n} = 2^n \cdot \frac{\Gamma(\phi/2+n)}{\Gamma(\phi/2)}$$
$n = 1$ で $\phi$、$n = 2$ で $\phi(\phi+2)$ となり、カイ2乗分布の平均 $\phi$ と分散 $2\phi$ に一致します。1つの式で3つの分布のモーメントが賄えることになります。
まとめ
- $x^n$ は $x^{\alpha-1}$ に吸収させる。肩が $(\alpha+n)-1$ になり、$\alpha$ を $\alpha+n$ と読み替えるだけになる。
- 使う公式は $\int_0^{\infty} x^{\alpha-1}e^{-\beta x}dx = \Gamma(\alpha)/\beta^{\alpha}$ の1本。密度の全積分が1であることから作り直せる。
- 答えは $\Gamma(\alpha+n)/(\Gamma(\alpha)\beta^n)$。$n=1$ で平均 $\alpha/\beta$、$n=2$ から分散 $\alpha/\beta^2$ が出るので検算できる。
- 第2パラメータが率か尺度かで答えが逆数になる。指数の肩が $e^{-\beta x}$ か $e^{-x/\theta}$ かで判別する。
- 原問（2001年度）は指数分布で、答えは $n!/a^n$。類題の式に $\alpha=1$ を入れたもの。
