『もう一度高校数学』——数列と微積分が抜けている状態を、1冊で戻す - 数学

どんな本か

『もう一度高校数学』（高橋一雄、日本実業出版社、2009）は、高校数学を1冊で通し直すための本です。社会人が学び直す場面を想定した構成になっています。刊行が2009年なので、扱っている課程は当時の学習指導要領に基づくものです。

タクティクス数学の巻末参考文献に書誌が載っています。本文からの参照は0か所で、おすすめ図書欄にも入っていません。

参照がないことは、そのまま書いておきます。タクティクスは試験の問題を解くための本なので、高校範囲そのものを扱う場面がほとんどありません。本文から呼ばれないのは、そういう構造の反映です。

確率・統計の学習で高校数学の抜けが表面化するのは、決まった場所です。

数列。等比級数の和は、幾何分布の期待値や確定年金の現価を求めるときに使います。$\sum_{k=1}^{n} kr^{k}$ のような、等差と等比が混ざった和の処理も出てきます。シグマの添字を動かして差を取る、という操作に慣れていないと、期待値の計算が最後まで進みません。

微分積分。密度関数を持つ連続型分布を扱う限り、期待値も分散も積率母関数も、定義に沿って計算すれば中身は積分です。部分積分、置換積分、そして無限区間の積分。指数関数を含む積分が反射的に処理できるかどうかが、解答時間に直結します。

指数・対数。最尤法では対数尤度を微分します。$\log$ の性質——積を和に、べきを積に——が身についていないと、式変形の途中で止まります。真数が正でなければ対数が定義できないので、尤度が0になる範囲を場合分けから外す、といった扱いもここに含まれます。

場合の数。離散型分布の確率を求める場面は、結局のところ数え上げです。組合せの考え方が曖昧だと、確率関数を立てるところで詰まります。

判断は、今どこで止まっているかで決まります。

確率の問題の解答を読んでいて、「なぜこの式変形ができるのか」で引っかかるなら、土台の問題です。その場合、確率の問題集を繰り返しても効率が上がりません。式変形の手が動かない原因は確率にないからです。

逆に、式変形は追えるが確率特有の考え方（条件付き確率、独立性、変数変換）でつまずくなら、この本の出番ではありません。確率の教材を続けるほうが早くなります。

見分け方としては、指定演習書の解答を1つ選んで、行間を全部説明できるか試してみるとよいでしょう。説明できない行が「なぜ積分がこうなるのか」なら土台側、「なぜこの確率をこう置くのか」なら確率側です。

高校数学を広く扱う本なので、通読すると時間がかかります。

試験に効くのは、数列・微分積分・指数対数・場合の数です。図形と方程式やベクトルは、確率・統計の文脈で出番が多くありません。必要な単元だけを開く、という使い方が現実的でしょう。

複素数平面まで戻す必要が出てきたら、『初めから始める数学III Part1』がタクティクスの複素数の付録から名指しされています。そちらは特性関数の証明を読むための用途です。

大学範囲の微積分まで持ち上げるなら、『1冊でマスター大学の微分積分』がタクティクス本文からも参照されています。高校範囲を戻したあとの接続先として使えます。

土台の抜けを飛ばして進むと、同じ場所で何度も止まります。そのたびに調べ直す時間が積み上がり、結局は戻ったほうが速かった、という結果になりがちです。

一方で、必要のない復習に時間を使うのも損失です。試験範囲は確率・統計・モデリングと広く、統計側にも手を入れる必要があります。

だから、戻るかどうかは早めに判断しておくのがよいと考えています。学習を始めて最初の1か月で、指定演習書の解答が読めるかどうかを確かめる。読めないなら戻る。読めるなら進む。判断を先送りするのが、いちばん時間を失います。

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