この記事で扱う証明

教科書 第5章 練習問題（2）の（3）（4）です。どちらも責任準備金の再帰式から出ます。

証明1（3）— 満期の1年前の責任準備金

$$\resv{n-1}{x:\angl{n}} = v - P_{x:\angl{n}}$$

証明2（4）— 「1から責任準備金を引いた量」の再帰式

$$1 - \resv{t+1}{x:\angl{n}} = u_{x+t}\left\{\left(1 - \resv{t}{x:\angl{n}}\right) - \left(P_{x:\angl{n}} + d\right)\right\}$$

ただし $u_{x+t} = D_{x+t}/D_{x+t+1}$ です。

出発点になる再帰式

両方の証明で使うのは、責任準備金の再帰式です。養老保険（保険金年末支払）について、

$$\resv{t}{x:\angl{n}} + P_{x:\angl{n}} = v\, q_{x+t}\cdot 1 + v\, p_{x+t}\cdot \resv{t+1}{x:\angl{n}}$$

読み方は素直です。左辺は年度初めに手元にある額——前年度末までの責任準備金に、その年度の保険料を足したもの。右辺は年度末に必要な額を割り引いたもので、死亡すれば保険金1を払い（確率 $q_{x+t}$）、生存すれば次年度の責任準備金を用意する（確率 $p_{x+t}$）。

年度初めの資金が、年度末の必要額をちょうど賄う。収支相等を1年分だけ書いた式です。

証明1：満期の1年前

再帰式で $t = n-1$ とします。満期時点の責任準備金は保険金と同額なので $\resv{n}{x:\angl{n}} = 1$ です。

$$\resv{n-1}{x:\angl{n}} + P_{x:\angl{n}} = v\, q_{x+n-1} \cdot 1 + v\, p_{x+n-1} \cdot 1$$

右辺で $v$ をくくると $q + p = 1$ なので、

$$\resv{n-1}{x:\angl{n}} + P_{x:\angl{n}} = v\left(q_{x+n-1} + p_{x+n-1}\right) = v$$

したがって

$$\resv{n-1}{x:\angl{n}} = v - P_{x:\angl{n}}$$

証明終わりです。

意味を取ると当たり前の式です。満期の1年前まで来れば、生死にかかわらず1年後には1を払うことが確定しています。だから年度初めに用意しておくべきは、1年後の1の現価である $v$ だけ。そこから最後の保険料を受け取るぶんを引けば、必要な責任準備金になります。

養老保険の最後の1年は、実質的に確定給付になる。これが式の言っていることです。

証明2：残りを追う形に組み替える

証明2は、同じ再帰式を「1から責任準備金を引いた量」の関係に書き直す作業です。

再帰式を移項します。

$$\resv{t}{x:\angl{n}} + P_{x:\angl{n}} - v\, q_{x+t} = v\, p_{x+t}\, \resv{t+1}{x:\angl{n}}$$

両辺を $v\,p_{x+t}$ から引きます。

$$v\, p_{x+t}\left(1 - \resv{t+1}{x:\angl{n}}\right) = v\, p_{x+t} - \resv{t}{x:\angl{n}} - P_{x:\angl{n}} + v\, q_{x+t}$$

ここで2つの関係を使います。

$$v\, p_{x+t} + v\, q_{x+t} = v = 1 - d, \qquad v\, p_{x+t} = \frac{D_{x+t+1}}{D_{x+t}}$$

1つ目は $p + q = 1$ と、割引率 $d$ の定義 $v = 1 - d$ から。2つ目は計算基数 $D_x = v^x l_x$ の定義から出ます。

代入して整理すると

$$\frac{D_{x+t+1}}{D_{x+t}}\left(1 - \resv{t+1}{x:\angl{n}}\right) = \left(1 - \resv{t}{x:\angl{n}}\right) - \left(P_{x:\angl{n}} + d\right)$$

$u_{x+t} = D_{x+t}/D_{x+t+1}$ を掛ければ、示すべき式になります。

なぜ「1から引いた量」を追うのか

証明2の形の意味を考えておきます。

$1 - \resv{t}{x:\angl{n}}$ は、保険金1のうち、まだ積み上がっていない部分です。会社から見れば「これから用意しなければならない残額」にあたります。この量が1年でどう減るかを書いたのが証明2の式です。

減り方の中身は、保険料 $P$ と割引率 $d$ の和。ここに $d$ が出てくるのは、1年後に払う保険金1を現在価値で見ると $v = 1 - d$ になるからです。年度初めの残額を現価で書いた $v - (\resv{t}{} + P)$ を整理すると、$1$ から引く形に直したときに $d$ が顔を出します。$u_{x+t}$ を掛けるのは、生存者だけで分け合うために生存確率と利息で割り戻す操作です。

別記事で扱ったチルメル式も、この「残額をどう埋めていくか」という見方の延長にあります。積み上がりを正面から追うか、残額を追うか。どちらの視点も持っておくと、責任準備金の問題で式の意味を読み違えません。

つまずきポイント：$v$ と $d$ の関係を式で持つ

証明2で詰まるとすれば、$v = 1 - d$ を思い出せない箇所です。

現価率 $v = 1/(1+i)$、割引率 $d = i/(1+i)$。この2つを足すと

$$v + d = \frac{1}{1+i} + \frac{i}{1+i} = 1$$

第1章で出てくる関係ですが、責任準備金の式変形で急に必要になります。$v + d = 1$、$d = iv$、$v = 1/(1+i)$ の3つは、書き換えの道具として手元に置いておいてください。

この2問が本試験でどう効くか

証明1の結果は、そのまま計算問題に使えます。満期直前の責任準備金を問われたら、定義に戻らず $v - P$ で即答できます。

証明2の形は、再帰式を何度も回して責任準備金の推移を追う問題で効きます。$1 - \resv{t}{}$ の形にしておくと、毎年の変化が「$P + d$ を引いて $u$ を掛ける」という同じ操作の繰り返しになるので、表計算の要領で処理できます。

いずれにせよ、覚えるべきは再帰式1本です。そこに何を代入するかで、両方の結果が出てきます。

まとめ

  • 責任準備金の再帰式は「年度初めの資金＝年度末の必要額の現価」を1年分だけ書いたもの。
  • $t = n-1$、$\resv{n}{} = 1$ を代入すると $\resv{n-1}{x:\angl{n}} = v - P$。満期直前は生死によらず1年後に1を払うので、必要額は $v$ だけ。
  • 同じ再帰式を「1から引いた量」で書き直すと、残額が毎年 $P + d$ ずつ減り $u_{x+t}$ で割り戻される形になる。
  • 変形で使うのは $v = 1-d$ と $v\,p_{x+t} = D_{x+t+1}/D_{x+t}$ の2本。